Yo tenía siete cabras, cambié tres por maíz, di como dote una a cada una de mis tres hijas, y otra que me robaron. ¿Cuántas cabras tengo ahora? Todo escolar conoce el concepto de cero, así que ¿por qué le llevó tanto tiempo hacerse popular? Siga ese tortuoso camino desde la herejía al sentido común.
La pregunta no es capciosa. Curiosamente, durante gran parte de la historia humana no hemos tenido los recursos matemáticos para ofrecer una respuesta. Hay pruebas de recuento que se remontan a cinco siglos en Egipto, Mesopotamia y Persia. Sin embargo, incluso en la definición más generosa, el concepto matemático de nada —el cero—, ha existido desde hace menos de la mitad del tiempo. Incluso entonces, las civilizaciones que lo descubrieron lo volvieron a perder por completo. En Europa, la indiferencia, la miopía y el miedo atrofiaron su desarrollo durante siglos. ¿Qué pasó para que el olvidado cero se conviertiera en héroe?
Esta es la enmarañada historia de dos ceros: El cero como símbolo para representar la nada, y el cero como número para utilizar en los cálculos con sus particulares propiedades matemáticas. Es natural pensar que ambos son lo mismo, pero la historia nos enseña algo diferente. El símbolo cero fue, en realidad, el primero de los dos en aparecer. Es un tipo de carácter familiar de un número, como el próximo año en nuestro calendario, 2012. Aquí actúa como un marcador de posición, en una notación numérica "posicional", cuya característica fundamental es que el valor de un dígito depende de dónde se encuentra en el número. Tomemos el mismo 2012, por ejemplo, el "2" sale dos veces, uno con el significado de 2 y otro con el significado de 2000. Y eso es, porque nuestro sistema posicional usa la "base" 10, de tal manera que si muevo un número de un lugar a otro a la izquierda significa que el valor del dígito aumenta en una potencia de 10.
Es a través de estas maquinaciones que la cadena de dígitos "2012" llega a tener las propiedades de un número con el valor igual a 2 x 103 + 0 × 102 + 1 x 101 + 2. El papel del cero es fundamental, si no fuera por su presencia inequívoca, fácilmente se podría confundirse el 2012 con el 212, o tal vez con 20012, y nuestros cálculos podrían ser por cientos o miles.
El primer sistema de numeración posicional se utilizó para calcular el paso de las estaciones y los años en Babilonia, actual Irak, desde el año -1800 en adelante. Su base no era 10, sino 60. No tenía un símbolo para cada número entero de la base, que es distinto a la "dinámica" del sistema de dígitos de 1 al 9 que conforma nuestro sistema de base 10. En su lugar, había sólo dos símbolos, el 1 y el 10, que eran agrupados en grupos con una plantilla máxima de 59. Por ejemplo, 2012 era equivalente a 33 x 601 + 32, y era representado por dos grupos adyacentes de símbolos: un grupo de tres dieces y tres de unos, y un segundo grupo de tres dieces y dos de unos.
Este número en particular no tiene nada que faltan. Muy general, sin embargo, durante los primeros 15 siglos, más o menos, sistema de numeración posicional de Babilonia, la ausencia de la notación 60 en la transcripción de cualquier número no se marcaba por un símbolo, aunque (si tenías suerte) podías encontrar un hueco. ¿Qué cambió sobre el año -300? No lo sé, tal vez una atroz confusión en muchas de las posiciones. Sin embargo, pareció surgir durante todo este tiempo un tercer símbolo, un curioso diseño de dos flechas inclinadas a la izquierda (ver ilustración de línea de tiempo), que empezaron a llenar los lugares que faltaban en los cálculos de los astrónomos".
Este fue el primer cero del mundo. Unos siete siglos más tarde, al otro lado del mundo, fue inventado por segunda vez. Un sacerdote y astrónomo maya de América central, comenzó a utilizar un símbolo parecido a una concha de caracol, para rellenar los huecos en el sistema posicional de "cuenta larga" de (casi) base 20, que utilizaban para calcular su calendario. El cero, como marcador de posición, es claramente un concepto útil. y es frustrante en esa controvertida historia del cero, que ni los babilonios ni los mayas se dieran cuenta de todo lo útil que podría ser.
En cualquier sistema de numeración posicional dinámico, la colocación del cero asume casi sin avisar un nuevo disfraz: se convierte en un "operador" matemático que soporta toda la potencia de la base del sistema. Esto se hace evidente si consideramos el resultado de la adición de un cero posicional al final de una cadena de números decimales. El número 2012 se convierte en 20120, por arte de magia es multiplicado por la base 10. Intuitivamente sacamos ventaja de esta característica cuando sumamos dos o más números, y del total de una columna va saliendo del 9 al 10. Nos "llevamos uno" y dejamos el cero para asegurarnos la respuesta correcta. La simplicidad de este tipo de algoritmos es la fuente de la flexible musculatura de nuestro sistema en la manipulación de los números.
Frente al vacío
No debemos culpar a los babilonios o los mayas por perderse en tales sutilezas: varios defectos en sus sistemas numéricos lo hicieron difícil de detectar. Y así, aunque se encontraron con el símbolo cero, lo pasaron por alto. El cero no es ciertamente una adición bienvenida en el panteón de los números. Aceptarlo invita a todo tipo de incongruencias lógicas que, si no se manejan con el debido cuidado y atención, puede llevar a derrumbar el sistema numérico. La adición del cero a sí mismo no da lugar a ningún aumento de tamaño, como lo hace cualquier otro número. Multiplicar cualquier número, por grande que sea, por cero, se colapsa en cero. Y no digamos profundizar en lo que sucede cuando se divide un número por cero.
La Grecia clásica fue la siguiente civilización que manejó el concepto, pero no estaban dispuestos a hacer frente a las complejidades del cero. El pensamiento griego se casó con la idea de que los números expresaban formas geométricas, y ¿qué forma podría corresponder a algo que no estaba ahí? Sólo podía ser la ausencia total de algo, el vacío, un concepto que la cosmología dominante de la época había desterrado.
Es en gran medida, el producto de Aristóteles y sus discípulos, esta visión del mundo entendía los planetas y las estrellas como incrustados en una serie de esferas celestes concéntricas de una extensión finita. Estas esferas estaban llenos de una sustancia etérea, centrada totalmente en la Tierra y se ponía en marcha por un "motor inmóvil". Esta fue la imagen que más adelante fue adoptada con entusiasmo por la filosofía cristiana, que veía en el motor inmóvil la identidad de Dios. Y puesto que no había lugar para el vacío en esta cosmología, se deducía que todo lo relacionado con el vacío era un concepto ateo.
La filosofía oriental, fundamentada en ideas de ciclos eternos de creación y la destrucción, no tuvo tales reparos. Y así siguiente puesta en escena en el camino hacia el cero no fue al oeste de Babilonia, sino en el este. Se ha descubierto en Brahmasphutasiddhanta, un tratado sobre la relación de las matemáticas con el mundo físico, escrito en la India, en torno al año 628, por el astrónomo Brahmagupta.
Brahmagupta fue la primera persona que trató los números como cantidades puramente abstractas, separadas de cualquier realidad física o geométrica. Esto le permitió tener en cuenta las cuestiones poco ortodoxas que los babilonios y los griegos habían ignorado o rechazado, como el qué sucede cuando se resta a un número otro de mayor tamaño. En términos geométricos esto no tiene sentido: ¿qué área te queda cuando se le resta un área más grande? Del mismo modo, ¿cómo podría haber vendido o intercambiado más cabras de las que tenía en un primer momento? Tan pronto como los números se convierten en entidades abstractas, se abre mundo nuevo de posibilidades, el mundo de los números negativos.
El resultado fue una línea continua de números que se extiendía más allá donde alcanzaba la vista en ambas direcciones, mostrando tanto números positivos como negativos. Sentado en medio de esta línea, en un punto distintivo a lo largo de ella, en el umbral entre los mundos positivos y negativos, se encontraba sunya, la nada. Los matemáticos indios se habían atrevido a mirar al vacío y con ello aparecía un nuevo número.
No pasó mucho tiempo antes de que este nuevo número se unificara con el símbolo cero. Un obispo cristiano sirio, escribía en el año 662, que los matemáticos hindúes hacían cálculos "con nueve signos", y dos siglos más tarde, una inscripción dedicada en un templo en el gran fuerte medieval de Gwalior, al sur de Delhi en la India, muestra que los nueve había se habían convertido en diez. El cero ya había se han incorporado al canon, miembro de pleno derecho de un sistema numérico posicional dinámico, que va de 0 a 9. Eso marcó el nacimiento del sistema de números, puramente abstracto, que ahora se utiliza en todo el mundo, y pronto dio lugar a una nueva forma de hacer matemáticas, y con ello, al álgebra.
Las noticias de estas innovaciones les llevó mucho tiempo filtrarse a través de Europa. No fue sino hasta 1202 que un joven italiano, Leonardo de Pisa, mejor recordado como Fibonacci, publicó un libro titulado Liber Abaci, en el que presentó los detalles del sistema de numeración árabe, que había encontrado en un viaje a las costas del sur del Mediterráneo, y ha demostraba la superioridad de esta notación sobre el ábaco para realización de cálculos complejos.
Mientras que los comerciantes y banqueros se convencieron rápidamente de la utilidad del sistema indo-arábigo, las autoridades gobernantes no parecían tan convencidos. En 1299, la ciudad de Florencia, Italia, prohibió el uso de los números indo-árabes, incluido el cero. A su juicio, la capacidad para inflar el valor de un número enorme, simplemente añadiendo un dígito en su extremo, una facilidad no disponible en la entonces dominante sistema no posicional de números romanos, debía de ser una invitación abierta al fraude.
Fueron tiempos difíciles para el número cero. Cismas, revoluciones, reformas y la contrarreformas de la iglesia, significaban un continuo debate sobre el valor de las ideas de Aristóteles sobre el cosmos, y con ello, la ortodoxia o no ortodoxia del vacío. Sólo la revolución copernicana, la revelación de que la Tierra gira alrededor del sol, comenzó, lentamente, a sacudir la matemática europea, dejándola libre de los grilletes de la cosmología aristotélica, a partir del siglo XVI.
En el siglo XVII, el escenario estaba preparado para el triunfo final del cero. Sería difícil señalar un único suceso que lo marcó. Tal vez fue el advenimiento del sistema de coordenadas inventado por el filósofo y matemático francés, René Descartes. Su sistema cartesiano casaba muy bien con el álgebra y la geometría, dando a cada forma geométrica una representación simbólica nueva con el cero, ese corazón inmóvil de un sistema de coordenadas, en su centro. Pero el cero estaba lejos de ser irrelevante para la geometría, los griegos ya lo habían sugerido: era esencial. Un poco después, la nueva herramienta de cálculo mostraba que primero había que apreciar cómo el cero se fusionaba dentro de lo infinitamente pequeño, para explicar cómo ninguna cosa del cosmos podía cambiar su posición en absoluto, una estrella, un planeta, el adelantamiento a una tortuga. El cero era por sí mismo el primer motor.
Por lo tanto, comprender mejor el cero se convirtió en la mecha de la revolución científica que le siguió. Los acontecimientos posteriores han confirmado hasta qué punto el cero es esencial para las matemáticas y todo lo que se construye con ella. Mirar el cero sentado tranquilamente en sistema numérico hoy, siendo un concepto aprendido desde una edad temprana, se hace difícil de ver cómo pudo haber causado tanta confusión y angustia. Un caso, en definitiva, de mucho andar para llegar a nada.
- Referencia: NewScientist.com, 21 de noviembre 2011, por Richard Webb
- Imagen: NewScientist.com.
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